Giải bài 2.36 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài mỗi cạnh bằng 2. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {B'D'} \) bằng

A. 4

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \( - 2\sqrt 2 \)                 

D. \( - 4\)

Lời giải chi tiết

Đáp án: D.

Lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc tọa độ là \(A\), \(B\) thuộc tia \(Ox\), \(C'\) thuộc tia \(Oy\) và \(A'\) thuộc tia \(Oz\), khi đó ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\) và \(B\left( {2,0,0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BD} \) suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BD} \). Tọa độ của \(D\) là \(\left( {0;2;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0;0} \right)\), \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 2;2;0} \right)\) do đó \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BD}  =  - 4\).

Vậy ta chọn đáp án D.