Giải bài 37 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất \(m\), giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \) lần lượt bằng:

A. \(m = 0,M = 2\).    

B. \(m =  - 2,M = 2\). 

C. \(m =  - 2,M = 0\). 

D. \(m = 0,M = 4\).

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định là \(\left[ { - 2;2} \right]\).

Ta có: \(y' = {\left( x \right)^\prime }.\sqrt {4 - {x^2}}  + x.{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.\frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2{{\rm{x}}^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x =  - \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \).

\(y\left( { - 2} \right) = 0;y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2;y\left( 2 \right) = 0\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y =  - 2\) tại \(x =  - \sqrt 2 \); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = 2\) tại \(x = \sqrt 2 \).

Chọn B.