Giải bài 43 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc khác nhau”.

B: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện trên mặt 6 chấm”.

Tính \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {B|A} \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\Omega  = \left\{ {\left( {a;b;c} \right);1 \le a,b,c \le 6} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\).

\(n\left( F \right) = 800 + 400 = 1200\); \(n\left( {EA} \right) = 1600\); \(n\left( {FB} \right) = 400\).

\(A = \left\{ {\left( {a;b;c} \right):1 \le a,b,c \le 6;a,b,c \in \mathbb{N};a \ne b \ne c} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = A_6^3 = 120 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{120}}{{216}}.\)

Xét biến cố đối \(\overline B \): “Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc đều khác 6”.

\(\overline B  = \left\{ {\left( {a;b;c} \right):1 \le a,b,c < 6;a,b,c \in \mathbb{N}} \right\} \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 125 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{{125}}{{216}} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{91}}{{216}}\).

Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố AB là một bộ ba \(\left( {a,b,c} \right)\) trong đó \(1 \le a,b,c \le 6\) và \(a,b,c\)

nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6, có 3 cách chọn một số bằng 6 và \(A_2^5\)

cách chọn 2 số còn lại. Suy ra có \(3 \cdot 20 = 60\) kết quả thuận lợi. Do đó \(P\left( {AB} \right) = \frac{{60}}{{216}}\).

Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{60}}{{91}};{\rm{ }}P\left( {B|A} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{60}}{{120}} = \frac{1}{2}\).