Giải bài 5.3 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y - 2z + 9 = 0\) và điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua A và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(d\left( {A,\alpha } \right) = \frac{{\left| {2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 3 + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\).

b) Ta có \(\left( \beta  \right)\) song song với \(\left( \alpha  \right)\) nên \(\left( \beta  \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến với \(\left( \alpha  \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( \beta  \right)\) là \(1\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\).