Giải bài 5.38 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right)\) và \(C\left( {3;1;2} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2;3} \right)\). Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;10;7} \right)\).

Mặt phẳng (ABC) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là

\( - \left( {x + 1} \right) + 10\left( {y - 2} \right) + 7z = 0 \Leftrightarrow  - x + 10y + 7z - 21 = 0\).

b) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1;1} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 3 - t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Phương trình chính tắc của AB là \(\frac{{x + 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\).