Giải bài 5.43 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\).

a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).

b) Ta có \(IA = \sqrt {{2^2}}  = 2 < 3 = R\). Suy ra điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(IH \le IA\) nên IH lớn nhất khi H trùng với A.

Để khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất thì IH lớn nhất.

Khi đó A là hình chiếu của I trên (P).

Suy ra mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA}  = \left( {0;0; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) là \( - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 1 = 0\).