Giải bài 49 trang 27 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình phẳng được tô màu như Hình 13.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x},y =  - 2{\rm{x}} + 1\) và hai đường thẳng \(x =  - 1,x = 0\).

b) Diện tích hình phẳng được tính theo công thức:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x} - \left( { - 2{\rm{x}} + 1} \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left[ { - 2x + 1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}} \right]dx}  = \left. {\left[ { - {x^2} + x - \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{1}{3}}}} \right]} \right|_{ - 1}^0\\ = \left. {\left( { - {x^2} + x + \frac{1}{{{3^x}\ln 3}}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{{\ln 3}} - \left( { - 2 + \frac{3}{{\ln 3}}} \right) = 2 - \frac{2}{{\ln 3}}\end{array}\)