Giải bài tập 5 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y + 2z + 1 = 0\), \(\left( \beta  \right):x + y - z + 2 = 0\) và \(\left( \gamma  \right):x - y + 5 = 0\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. \(\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\)

B. \(\left( \gamma  \right) \bot \left( \beta  \right)\)

C. \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\)

D. \(\left( \alpha  \right) \bot \left( \gamma  \right)\)

Lời giải chi tiết

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\), \(\left( \gamma  \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) = 0\), suy ra \(\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0\), suy ra \(\left( \gamma  \right) \bot \left( \beta  \right)\).

Ta có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 1}}\), suy ra \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) không song song với nhau.

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + 2.0 = 0\), suy ra \(\left( \alpha  \right) \bot \left( \gamma  \right)\).

Vậy đáp án cần chọn là C.