Giải bài tập 5.50 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết

Gọi 3 điểm cách nhau 2m trên mặt nước là A, B, C. Vị trí thả quả rọi xuống đáy bể lần lượt là A’, B’, C’ sao cho AA' = 4 m, BB' = 4,4 m, CC' = 4,8 m. Chọn gốc tọa độ O tại trung điểm AB.

Khi đó, A(0;1;0) B(0;-1;0) C(\(\sqrt 3 \);0;0); A’(0;1;4); B’(0;-1;4,4); C’ (\(\sqrt 3 \);0; 4,8).

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {0; - 2;0,4} \right);\overrightarrow {B'C'}  = \left( {\sqrt 3 ;1;0,4} \right)\).

Mặt phẳng (A’B’C’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {B'C'} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {B'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{0,4}\\1&{0,4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{0,4}&0\\{0,4}&{\sqrt 3 }\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\{\sqrt 3 }&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{ - 6}}{5};\frac{{2\sqrt 3 }}{5};2\sqrt 3 } \right)\).

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng (A’ B’ C’) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - \frac{6}{5};\frac{{2\sqrt 3 }}{5};2\sqrt 3 } \right)\).

Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k {\rm{  = }}\left( {0;0;1} \right)\).

Nên góc giữa mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang là:

\(\cos \left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{ - 6}}{5}.0 + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 6}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{5}} \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}}\).

 \( \Rightarrow \left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 21,{8^0}\).

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng 21,8 độ.