Giải bài tập 5.59 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \((\alpha ):4x + 3y + 5z - 4 = 0\) bằng:

A. \({30^\circ }\)

B. \({120^\circ }\)

C. \({60^\circ }\)

D. \({150^\circ }\)

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của \(d\) là \(\vec u = (1;2;1)\).

Vector pháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec n = (4;3;5)\).

Tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec n\): \(\vec u \cdot \vec n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 4 + 6 + 5 = 15\).

Độ dài của \(\vec u\) và \(\vec n\):

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}}  = \sqrt {1 + 4 + 1}  = \sqrt 6 \).

\(\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}}  = \sqrt {16 + 9 + 25}  = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 \).

Tính \(\sin \theta \): \(\sin \theta  = \frac{{|15|}}{{\sqrt 6  \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{15}}{{5\sqrt {12} }} = \frac{3}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Tìm góc \(\theta \) từ \(\sin \theta  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Ta có \(\theta  = {60^\circ }\).

Chọn C