Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right)\); b) \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\); c) \(\lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\); d) \(\lim \frac{{3 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}}\).

Xem chi tiết

Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\); b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\); c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\); d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\); e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\); g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\).

Xem chi tiết

Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\); b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\); c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\); d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).

Xem chi tiết

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = 3,\lim {v_n} = 4\). Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {3{u_n} - 4} \right)\); b) \(\lim \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right)\); c) \(\lim {\left( {{u_n} - {v_n}} \right)^2}\); d) \(\lim \frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}}\).

Xem chi tiết

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).

Xem chi tiết

Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {1 + 3n - {n^2}} \right)\); b) \(\lim \frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}}\); c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right)\); d) \(\lim \left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \right)\).

Xem chi tiết

Tùy theo giá trị của \(a > 0\), tìm giới hạn \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}\).

Xem chi tiết

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\) b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

Xem chi tiết

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777...\); b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545...\)

Xem chi tiết

Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với \(100{m^3}\) ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Xem chi tiết

Tam giác \(O{A_1}{A_2}\) vuông cân tại \({A_2}\) có cạnh huyền \(O{A_1}\) bằng a. Bên ngoài tam giác \(O{A_1}{A_2}\), vẽ tam giác \(O{A_2}{A_3}\) vuông cân tại \({A_3}\). Tiếp theo, bên ngoài tam giác \(O{A_2}{A_3}\), vẽ tam giác \(O{A_3}{A_4}\) vuông cân tại \({A_4}\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...\)

Xem chi tiết

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, \(OM = ON = 1\). Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông \(O{A_1}{B_1}{C_1}\) sao cho các đỉnh \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác \({A_1}M{B_1}\), vẽ hình vuông \({A_1}{A_2}{B_2}{C_2}\) sao cho các đỉnh \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt nằm trên các cạnh \({A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}\). Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Xem chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng \(d:x + y = 2\) cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng \({d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x\) tại điểm \({P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\). Kí hiệu \({S_n}\) là diện tích của tam giác \(OA{P_n}\). Tính \(\lim {S_n}\).

Xem chi tiết